Bài 14. Phương trình mặt phẳng – Toán 12 Kết nối tri thức (lý thuyết và bài tập có lời giải)

Bài 14. Phương trình mặt phẳng (Toán 12, sách Kết nối tri thức) giúp các em nắm vectơ pháp tuyến, tích có hướng, cách lập phương trình mặt phẳng, điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc và công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

a) Vectơ pháp tuyến

Hiểu nôm na, vectơ pháp tuyến là một mũi tên "đứng thẳng" trên mặt phẳng, giống cây cột cắm thẳng đứng trên mặt sàn. Nhắc lại, giá của một vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

Trên hình, $\vec{n}$ vuông góc với (α) nên vuông góc với mọi vectơ nằm trong (α), chẳng hạn $\overrightarrow{M_0M}.$

Chú ý.

• Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

• Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của (α) thì $k\vec{n}$ (với $k\ne 0$) cũng là một vectơ pháp tuyến của (α). Như vậy một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, chúng cùng phương với nhau. Ta thường chọn vectơ có tọa độ gọn nhất.

Ví dụ 1. Cho hai điểm $A(1;-2;3)$ và $B(-3;0;1).$ Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

Giải. Mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB. Vì vậy nó nhận $\overrightarrow{AB}$ làm một vectơ pháp tuyến. Ta có

\[\begin{aligned}\overrightarrow{AB}&=(-3-1;0+2;1-3)\\ &=(-4;2;-2).\end{aligned}\]

Nhân với $-\dfrac{1}{2}$ ta được vectơ pháp tuyến gọn hơn là $\vec{n}=(2;-1;1).$

b) Tích có hướng của hai vectơ

Muốn có vectơ pháp tuyến, ta thường phải tìm một vectơ vuông góc cùng lúc với hai vectơ cho trước. Tích có hướng là công thức cho ra ngay vectơ đó từ tọa độ của hai vectơ.

Vì sao $\vec{n}$ vuông góc với $\vec{u}$? Các em tính tích vô hướng (xem lại Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ)

\[\begin{aligned}\vec{n}\cdot\vec{u}&=a(bc'-b'c)+b(ca'-c'a)\\ &\quad+c(ab'-a'b)=0.\end{aligned}\]

Tương tự $\vec{n}\cdot\vec{v}=0.$

Mẹo nhớ "che cột". Định thức cấp hai tính bằng cách nhân chéo rồi trừ, tức là (số trên trái nhân số dưới phải) trừ (số dưới trái nhân số trên phải), đúng như kí hiệu định thức ở trên. Viết tọa độ $\vec{u}$ ở dòng trên, $\vec{v}$ ở dòng dưới.

	Cột 1	Cột 2	Cột 3
$\vec{u}$	a	b	c
$\vec{v}$	a′	b′	c′

• Thành phần thứ nhất. Che cột 1, còn cột 2 và cột 3, ta được $\begin{vmatrix} b & c\\ b' & c'\end{vmatrix}=bc'-b'c.$

• Thành phần thứ hai. Che cột 2, lấy cột 3 rồi đến cột 1, ta được $\begin{vmatrix} c & a\\ c' & a'\end{vmatrix}=ca'-c'a.$

• Thành phần thứ ba. Che cột 3, còn cột 1 và cột 2, ta được $\begin{vmatrix} a & b\\ a' & b'\end{vmatrix}=ab'-a'b.$

Lưu ý. Học sinh hay sai ở thành phần thứ hai. Nếu lấy cột 1 rồi cột 3 thì kết quả bị đổi dấu.

Ví dụ 2. Cho $\vec{u}=(1;-2;0)$ và $\vec{v}=(3;1;-4).$ Tính $[\vec{u},\vec{v}].$

Giải. Viết tọa độ hai vectơ thành hai dòng.

	Cột 1	Cột 2	Cột 3
$\vec{u}$	1	−2	0
$\vec{v}$	3	1	−4

• Che cột 1, ta được $\begin{vmatrix} -2 & 0\\ 1 & -4\end{vmatrix}=(-2)\cdot(-4)-1\cdot 0=8.$

• Che cột 2, lấy cột 3 rồi cột 1, ta được $\begin{vmatrix} 0 & 1\\ -4 & 3\end{vmatrix}=0\cdot 3-(-4)\cdot 1=4.$

• Che cột 3, ta được $\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 3 & 1\end{vmatrix}=1\cdot 1-3\cdot(-2)=7.$

Vậy $[\vec{u},\vec{v}]=(8;4;7).$

Thử lại bằng tích vô hướng, ta có $(8;4;7)\cdot(1;-2;0)=8-8+0=0$ và $(8;4;7)\cdot(3;1;-4)=24+4-28=0.$ Đúng!

Chú ý. Với $\vec{u}=(2;3;1)$ và $\vec{v}=(4;6;2)$ thì $\vec{v}=2\vec{u}$ (cùng phương), nên $[\vec{u},\vec{v}]=(0;0;0).$ Các em có thể tự tính lại để thấy điều này.

c) Cặp vectơ chỉ phương

Hiểu nôm na, cặp vectơ chỉ phương là hai mũi tên "nằm dọc theo" mặt phẳng (nằm trên mặt sàn hoặc song song với mặt sàn) và không cùng phương.

Trên hình, $\vec{u},$ $\vec{v}$ nằm trên (P). Vectơ $[\vec{u},\vec{v}]$ vuông góc với cả hai nên đứng thẳng trên (P). Đó chính là một vectơ pháp tuyến của (P).

Lưu ý. Đừng nhầm vectơ chỉ phương (nằm dọc mặt phẳng) với vectơ pháp tuyến (đứng thẳng trên mặt phẳng). Viết phương trình mặt phẳng thì cần vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 3. Cho ba điểm không thẳng hàng $A(1;-2;1),$ $B(-2;1;0),$ $C(-2;3;2).$ Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Giải. Hai vectơ $\overrightarrow{AB},$ $\overrightarrow{AC}$ nằm trong mặt phẳng (ABC) và không cùng phương, nên là cặp vectơ chỉ phương của (ABC). Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;3;-1)$ và $\overrightarrow{AC}=(-3;5;1).$ Do đó (ABC) có vectơ pháp tuyến

\[\begin{aligned}&[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\\ &=\left(\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 5 & 1\end{vmatrix};\begin{vmatrix} -1 & -3\\ 1 & -3\end{vmatrix};\begin{vmatrix} -3 & 3\\ -3 & 5\end{vmatrix}\right)\\ &=(3+5;\ 3+3;\ -15+9)\\ &=(8;6;-6).\end{aligned}\]

Chia cho 2, ta chọn vectơ pháp tuyến gọn hơn là $\vec{n}=(4;3;-3).$

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Hiểu nôm na, mỗi mặt phẳng được "ghi lại" bằng một phương trình bậc nhất của ba ẩn $x,$ $y,$ $z.$ Điểm nào có tọa độ thỏa mãn phương trình thì nằm trên mặt phẳng.

Các em nhớ hai điều.

• Hệ số của $x,$ $y,$ $z$ chính là tọa độ vectơ pháp tuyến. Hệ số tự do D không thuộc vectơ pháp tuyến.

• Muốn biết một điểm có thuộc mặt phẳng không, ta thay tọa độ điểm vào vế trái. Được 0 thì điểm thuộc mặt phẳng, khác 0 thì không thuộc.

Ví dụ 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

a) $x^2+2y^2+3z^2-1=0;$ b) $\dfrac{x}{2}-y+\dfrac{z}{3}+5=0;$ c) $xy+5=0.$

Giải. Phương trình mặt phẳng phải là bậc nhất, tức là $x,$ $y,$ $z$ chỉ có mũ 1 và không nhân với nhau. Phương trình a) có $x^2,$ $y^2,$ $z^2$ nên không phải bậc nhất. Phương trình c) có tích $xy$ nên cũng không phải. Phương trình b) có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=\dfrac{1}{2},$ $B=-1,$ $C=\dfrac{1}{3}$ (không đồng thời bằng 0). Vậy chỉ có phương trình b) là phương trình mặt phẳng.

Ví dụ 5. Cho mặt phẳng (α) có phương trình $x+2y-z+1=0.$

a) Đọc các hệ số của $x,$ $y,$ $z$ ta được vectơ pháp tuyến của (α) là $\vec{n}=(1;2;-1).$ Vectơ $\vec{m}=(2;4;-2)=2\vec{n}$ cũng là vectơ pháp tuyến của (α).

b) Điểm $A(1;3;2)$ có $1+2\cdot 3-2+1=6\ne 0$ nên A không thuộc (α). Điểm $B(1;1;4)$ có $1+2\cdot 1-4+1=0$ nên B thuộc (α).

Lưu ý. Phương trình thiếu biến nào thì hệ số của biến đó bằng 0. Chẳng hạn mặt phẳng $x+2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;0;0),$ không phải $(1;2)$ hay $(1;0;2).$

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Muốn viết phương trình mặt phẳng, các em luôn cần hai thứ, đó là một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến. Điểm thường có sẵn trong đề. Việc chính là tìm vectơ pháp tuyến. Bảng dưới đây gom các trường hợp hay gặp trong bài này (trường hợp song song, vuông góc được giải thích ở mục 4 và mục 5).

Mặt phẳng (α) cần viết	Vectơ pháp tuyến của (α)
Đề cho sẵn vectơ pháp tuyến $\vec{n}$	Dùng luôn $\vec{n}$
Vuông góc với đường thẳng AB	$\overrightarrow{AB}$
Vuông góc với trục Ox	$\vec{i}=(1;0;0)$ (trục Oy dùng $\vec{j}=(0;1;0),$ trục Oz dùng $\vec{k}=(0;0;1)$)
Có cặp vectơ chỉ phương $\vec{u},\vec{v}$	$[\vec{u},\vec{v}]$
Đi qua ba điểm A, B, C	$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]$
Song song với mặt phẳng (Q)	$\vec{n}_Q$ (vectơ pháp tuyến của (Q))
Chứa A, B và vuông góc với (Q)	$[\overrightarrow{AB},\vec{n}_Q]$
Vuông góc với hai mặt phẳng (Q), (R)	$[\vec{n}_Q,\vec{n}_R]$
Song song với trục Ox và vuông góc với (Q)	$[\vec{i},\vec{n}_Q]$
Cắt ba trục tại $A(a;0;0),$ $B(0;b;0),$ $C(0;0;c)$	Không cần tìm, dùng phương trình đoạn chắn (mục d)

Mẹo. Mặt phẳng song song với (hoặc chứa) một đường thẳng thì vectơ nằm trên đường thẳng đó là một vectơ chỉ phương (chẳng hạn $\overrightarrow{BC}$ khi song song với BC, $\vec{i}$ khi song song với trục Ox). Mặt phẳng vuông góc với (Q) thì $\vec{n}_Q$ là một vectơ chỉ phương. Có đủ hai vectơ chỉ phương thì lấy tích có hướng để được vectơ pháp tuyến.

a) Mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Đây là trường hợp gốc. Mọi trường hợp khác, sau khi tìm được vectơ pháp tuyến, đều quay về công thức này. Trong công thức, $M_0(x_0;y_0;z_0)$ là điểm đã biết, còn $(A;B;C)$ là tọa độ vectơ pháp tuyến.

Vì sao? Điểm $M(x;y;z)$ thuộc (α) khi và chỉ khi $\overrightarrow{M_0M}\perp\vec{n},$ tức là $\vec{n}\cdot\overrightarrow{M_0M}=0.$ Viết tích vô hướng này ra tọa độ ta được đúng phương trình trên.

Cách làm.

• Đọc tọa độ điểm $M_0$ và vectơ pháp tuyến $\vec{n}.$

• Thay vào công thức trong khung trên.

• Phá ngoặc, rút gọn về dạng tổng quát.

Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua $M(2;-1;0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-4;6).$

Giải. Ta có $x_0=2,\ y_0=-1,\ z_0=0$ và $A=3,\ B=-4,\ C=6.$ Mặt phẳng (α) có phương trình

\[\begin{aligned}&3(x-2)-4(y+1)+6(z-0)=0\\ &\Leftrightarrow 3x-6-4y-4+6z=0\\ &\Leftrightarrow 3x-4y+6z-10=0.\end{aligned}\]

Lưu ý. Học sinh hay nhầm dấu khi điểm có tọa độ âm. Chẳng hạn ở Ví dụ 6, với $y_0=-1$ thì $y-y_0=y-(-1)=y+1.$

b) Mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Khi đề không cho vectơ pháp tuyến mà cho hai vectơ nằm dọc mặt phẳng, ta tạo vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng.

Ví dụ 7. Cho $A(1;-2;-1),$ $B(4;1;2),$ $C(2;3;1).$ Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, song song với trục Oy và đường thẳng BC.

Giải. Ta tìm hai vectơ chỉ phương.

• Mặt phẳng (α) song song với trục Oy nên vectơ đơn vị $\vec{j}=(0;1;0)$ của trục Oy là một vectơ chỉ phương.

• Mặt phẳng (α) song song với BC nên $\overrightarrow{BC}=(2-4;3-1;1-2)=(-2;2;-1)$ là vectơ chỉ phương thứ hai.

Hai vectơ này không cùng phương. Do đó (α) có vectơ pháp tuyến

\[\begin{aligned}\vec{n}&=[\vec{j},\overrightarrow{BC}]\\ &=\left(\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 2 & -1\end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0 & 0\\ -1 & -2\end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0 & 1\\ -2 & 2\end{vmatrix}\right)\\ &=(-1-0;\ 0-0;\ 0+2)\\ &=(-1;0;2).\end{aligned}\]

Mặt phẳng (α) đi qua $A(1;-2;-1)$ nên có phương trình

\[\begin{aligned}&-(x-1)+0(y+2)+2(z+1)=0\\ &\Leftrightarrow -x+1+2z+2=0\\ &\Leftrightarrow x-2z-3=0.\end{aligned}\]

Vậy (α) có phương trình $x-2z-3=0.$

c) Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Hai vectơ $\overrightarrow{AB},$ $\overrightarrow{AC}$ nằm trong mặt phẳng đó nên là cặp vectơ chỉ phương.

Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu (xem lại Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian).

Ví dụ 8. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) với $A(1;2;3),$ $B(-1;3;4),$ $C(2;-1;2).$

Giải. Ta có

\[\begin{aligned}\overrightarrow{AB}&=(-1-1;3-2;4-3)\\ &=(-2;1;1),\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\overrightarrow{AC}&=(2-1;-1-2;2-3)\\ &=(1;-3;-1).\end{aligned}\]

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\dfrac{-2}{1}\ne\dfrac{1}{-3}$) nên A, B, C không thẳng hàng. Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến

\[\begin{aligned}\vec{n}&=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\\ &=\left(\begin{vmatrix} 1 & 1\\ -3 & -1\end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -1 & 1\end{vmatrix};\begin{vmatrix} -2 & 1\\ 1 & -3\end{vmatrix}\right)\\ &=(-1+3;\ 1-2;\ 6-1)\\ &=(2;-1;5).\end{aligned}\]

Mặt phẳng (ABC) đi qua $A(1;2;3)$ nên có phương trình

\[\begin{aligned}&2(x-1)-(y-2)+5(z-3)=0\\ &\Leftrightarrow 2x-2-y+2+5z-15=0\\ &\Leftrightarrow 2x-y+5z-15=0.\end{aligned}\]

Mẹo kiểm tra. Thay tọa độ B và C vào phương trình vừa lập, nếu đều bằng 0 thì đúng. Ở đây $2\cdot(-1)-3+5\cdot 4-15=0$ và $2\cdot 2+1+5\cdot 2-15=0.$

d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Khi mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm khác gốc O, ta không cần tìm vectơ pháp tuyến. Ta viết thẳng phương trình từ ba "đoạn chắn" trên ba trục.

Vì sao? Phương trình trên là bậc nhất (đưa về dạng $\dfrac{1}{a}x+\dfrac{1}{b}y+\dfrac{1}{c}z-1=0$). Thay tọa độ A, B, C vào đều thỏa mãn, chẳng hạn với A ta có $\dfrac{a}{a}+0+0=1.$ Ba điểm không thẳng hàng xác định đúng một mặt phẳng nên đó là phương trình của (ABC).

Cách làm.

• Đọc $a,b,c$ là tọa độ khác 0 của giao điểm trên trục Ox, Oy, Oz.

• Thay vào phương trình đoạn chắn, rồi quy đồng bỏ mẫu nếu cần.

Ví dụ 9. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A(2;0;0),$ $B(0;-3;0),$ $C(0;0;1).$

Giải. Ba điểm nằm trên ba trục với $a=2,\ b=-3,\ c=1.$ Theo phương trình đoạn chắn, ta có

\[\begin{aligned}&\frac{x}{2}+\frac{y}{-3}+\frac{z}{1}=1\\ &\Leftrightarrow 3x-2y+6z=6\\ &\Leftrightarrow 3x-2y+6z-6=0.\end{aligned}\]

(Dòng thứ hai có được khi nhân hai vế với 6.)

Lưu ý. Phương trình đoạn chắn chỉ dùng khi ba điểm nằm trên ba trục tọa độ và khác gốc O. Vế phải là 1 chứ không phải 0.

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Hai mặt phẳng vuông góc (như mặt tường và mặt sàn) thì hai "cây cột" pháp tuyến của chúng cũng vuông góc với nhau. Vì vậy ta chỉ cần xét tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến.

Chú ý. Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia. Do đó nó dùng được làm vectơ chỉ phương của mặt phẳng kia (giống cây cột của bức tường thì nằm ngang, song song với mặt sàn).

Ví dụ 10. Hai mặt phẳng $x-3y+2z+1=0$ và $5x+y-z+2=0$ có vectơ pháp tuyến $(1;-3;2)$ và $(5;1;-1).$ Ta có $1\cdot 5+(-3)\cdot 1+2\cdot(-1)=0$ nên hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Cách làm (viết mặt phẳng (P) chứa A, B và vuông góc với (Q)).

• Lấy $\overrightarrow{AB}$ làm một vectơ chỉ phương của (P).

• Lấy vectơ pháp tuyến $\vec{n}_Q$ của (Q) làm vectơ chỉ phương thứ hai của (P).

• Tính vectơ pháp tuyến $[\overrightarrow{AB},\vec{n}_Q]$ rồi viết phương trình qua A.

Ví dụ 11. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua $A(1;2;-2),$ $B(2;4;1)$ và vuông góc với mặt phẳng (Q): $x+3y+z-1=0.$

Giải. Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_Q=(1;3;1).$ Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;4-2;1+2)=(1;2;3).$

Mặt phẳng (P) chứa A, B nên nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương. Vì (P) vuông góc với (Q) nên (P) nhận $\vec{n}_Q$ làm vectơ chỉ phương thứ hai. Do đó (P) có vectơ pháp tuyến

\[\begin{aligned}\vec{n}_P&=[\overrightarrow{AB},\vec{n}_Q]\\ &=\left(\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 3 & 1\end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 1 & 1\end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3\end{vmatrix}\right)\\ &=(2-9;\ 3-1;\ 3-2)\\ &=(-7;2;1).\end{aligned}\]

Mặt phẳng (P) đi qua $A(1;2;-2)$ nên có phương trình

\[\begin{aligned}&-7(x-1)+2(y-2)+(z+2)=0\\ &\Leftrightarrow -7x+2y+z+5=0\\ &\Leftrightarrow 7x-2y-z-5=0.\end{aligned}\]

Lưu ý. $\vec{n}_Q$ chỉ là vectơ chỉ phương của (P), không phải vectơ pháp tuyến của (P). Lấy $\vec{n}_Q$ làm vectơ pháp tuyến của (P) là sai (khi đó (P) lại song song với (Q)).

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

Hai mặt phẳng song song (như sàn nhà và trần nhà) có chung "hướng đứng thẳng", nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Nhưng chúng không có điểm chung, nên hệ số tự do không theo cùng tỉ lệ.

Cách làm.

• Xét hai mặt phẳng có song song không. Tìm $k$ từ một cặp hệ số (chẳng hạn của $x$), rồi kiểm tra các hệ số còn lại của $y,$ $z$ có cùng tỉ lệ $k$ không. Nếu cùng tỉ lệ thì xét tiếp hệ số tự do.

• Viết mặt phẳng đi qua M và song song với (α). Lấy luôn vectơ pháp tuyến của (α), rồi viết phương trình qua M.

Ví dụ 12. Cho hai mặt phẳng (α): $5x+2y-4z+6=0$ và (β): $10x+4y-2z+12=0.$

a) Hỏi (α) và (β) có song song với nhau không?

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua $M(1;-3;5)$ và song song với (α).

Giải. a) Ta có $\vec{n}=(5;2;-4)$ và $\vec{n'}=(10;4;-2).$ Nếu $\vec{n'}=k\vec{n}$ thì từ hệ số của $x$ có $10=5k,$ suy ra $k=2.$ Nhưng hệ số của $z$ có $-2\ne 2\cdot(-4).$ Vậy $\vec{n'}$ không cùng phương với $\vec{n}$ nên (α) và (β) không song song.

b) Thay tọa độ M vào (α) ta được $5-6-20+6=-15\ne 0$ nên M không thuộc (α). (Nếu M thuộc (α) thì không có mặt phẳng nào qua M song song với (α).) Mặt phẳng (P) song song với (α) nên nhận luôn $\vec{n}=(5;2;-4)$ làm vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng (P) đi qua $M(1;-3;5)$ nên có phương trình

\[\begin{aligned}&5(x-1)+2(y+3)-4(z-5)=0\\ &\Leftrightarrow 5x-5+2y+6-4z+20=0\\ &\Leftrightarrow 5x+2y-4z+21=0.\end{aligned}\]

Lưu ý. Đừng vội kết luận "song song" khi mới thấy vectơ pháp tuyến cùng phương, phải xét thêm hệ số tự do. Ví dụ $3x+y-z+1=0$ và $9x+3y-3z+3=0$ có $9=3\cdot 3,$ $3=3\cdot 1,$ $-3=3\cdot(-1)$ và cả $3=3\cdot 1$ nên hai mặt phẳng này trùng nhau.

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là độ dài đoạn vuông góc MN hạ từ M xuống (P) (xem hình dưới). Ta không cần tìm N, chỉ cần thay số vào công thức sau.

Cách làm.

• Đưa phương trình (P) về dạng $Ax+By+Cz+D=0$ (thiếu biến nào thì hệ số biến đó bằng 0).

• Tử số là thay tọa độ M vào vế trái rồi lấy trị tuyệt đối.

• Mẫu số là độ dài vectơ pháp tuyến, chỉ gồm $A,$ $B,$ $C$ (không có $D$).

Ví dụ 13. Tính khoảng cách từ $M(1;2;-1)$ đến mặt phẳng (P): $x+2y-2z+5=0.$

Giải. Ta có $A=1,\ B=2,\ C=-2,\ D=5.$ Áp dụng công thức khoảng cách, ta có

\[\begin{aligned}d(M,(P))&=\frac{|1+2\cdot 2-2\cdot(-1)+5|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}\\ &=\frac{12}{3}=4.\end{aligned}\]

Lưu ý. Hay quên dấu giá trị tuyệt đối ở tử số (khoảng cách không bao giờ âm), hoặc đưa nhầm $D$ vào trong căn ở mẫu số.

Chú ý. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia (xem Bài 5.6).

Ví dụ 14 (vận dụng). Một camera có góc quan sát ngang $115^\circ,$ đặt tại $C(1;2;4)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): $x+2y+2z+3=0.$ Tính bán kính vùng quan sát hình tròn trên (P) (làm tròn đến hàng phần mười).

Giải. Ta "dịch" đề thành toán. Gọi H là hình chiếu của C trên (P). Camera chiếu thẳng xuống (P) nên vùng quan sát là hình tròn tâm H. Gọi K là một điểm trên đường tròn biên, bán kính cần tìm là HK. Góc $115^\circ$ là góc giữa hai tia biên, nên tia CK lệch khỏi CH một nửa góc đó.

Độ dài CH là khoảng cách từ C đến (P), ta có

\[\begin{aligned}CH&=d(C,(P))\\ &=\frac{|1+4+8+3|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{16}{3}.\end{aligned}\]

Tam giác CHK vuông tại H và $\widehat{HCK}=\dfrac{115^\circ}{2}=57{,}5^\circ$ nên

\[\begin{aligned}HK&=CH\cdot\tan 57{,}5^\circ\\ &=\frac{16}{3}\cdot\tan 57{,}5^\circ\approx 8{,}4.\end{aligned}\]

Vậy bán kính vùng quan sát khoảng 8,4 (đơn vị độ dài).

B. Giải bài tập sách giáo khoa