Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian (Toán 12, Kết nối tri thức) giúp các em biết cách viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng và dùng tọa độ để xét hai đường thẳng vuông góc, song song, cắt nhau hay chéo nhau. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Hiểu nôm na, vectơ chỉ phương là một mũi tên nằm dọc theo đường thẳng (hoặc song song với nó). Nhìn mũi tên này ta biết đường thẳng chạy theo hướng nào.
Vectơ $\vec{u}\ne\vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với Δ.
Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó (xem lại Bài 6. Vectơ trong không gian).
• Biết một điểm mà đường thẳng đi qua và một vectơ chỉ phương thì vẽ được đúng một đường thẳng. Vì vậy muốn viết phương trình đường thẳng, các em luôn đi tìm hai thứ này.
• Nhân vectơ chỉ phương với một số $k\ne0$ thì vẫn được vectơ chỉ phương (mũi tên dài hơn, ngắn hơn hoặc quay ngược nhưng vẫn nằm dọc đường thẳng). Ví dụ $(2;4;-6)$ và $(1;2;-3)$ cùng là vectơ chỉ phương của một đường thẳng. Ta thường chọn vectơ có tọa độ gọn nhất.
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lăng trụ, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?
Giải. Hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA}$ nằm ngay trên đường thẳng AB. Vì mặt bên ABB′A′ là hình bình hành nên A′B′ song song với AB, do đó hai vectơ $\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{B'A'}$ cũng thỏa mãn. Vậy có 4 vectơ là $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{B'A'}.$
Lưu ý. Vectơ chỉ phương nằm dọc theo đường thẳng, còn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng. Các em đừng nhầm hai loại vectơ này.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Hiểu nôm na, đứng ở điểm A rồi đi theo hướng $\vec{u}$ một đoạn bằng $t$ lần $\vec{u}$ thì tới điểm M của đường thẳng. Cho $t$ thay đổi thì M chạy khắp đường thẳng.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c).$ Hệ phương trình
\[\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R})\]được gọi là phương trình tham số của đường thẳng Δ ($t$ là tham số).
Vì sao? Điểm $M(x;y;z)$ thuộc Δ khi $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với $\vec{u},$ tức là $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$ với một số $t$ nào đó. Viết theo tọa độ ta có $(x-x_0;y-y_0;z-z_0)=(ta;tb;tc).$ Chuyển $x_0,y_0,z_0$ sang vế phải ta được hệ trên.
Cách đọc điểm và vectơ chỉ phương từ phương trình tham số
• Số đứng riêng (không đi với $t$) là tọa độ điểm.
• Số đứng trước $t$, lấy cả dấu, là tọa độ vectơ chỉ phương.
• Dòng nào không có $t$ thì hệ số của $t$ là 0. Dòng nào không có số đứng riêng thì tọa độ điểm là 0.
Chẳng hạn với $x=2-t,$ $y=3t,$ $z=-1$ ta viết đủ từng dòng rồi đọc như bảng dưới (VTCP là viết tắt của vectơ chỉ phương).
| Viết đủ từng dòng | Điểm | VTCP |
|---|---|---|
| $x=2+(-1)t$ | 2 | −1 |
| $y=0+3t$ | 0 | 3 |
| $z=-1+0t$ | −1 | 0 |
Vậy đường thẳng này đi qua $A(2;0;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;3;0).$
Cách làm (viết phương trình tham số)
• Tìm một điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ mà đường thẳng đi qua.
• Tìm một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$ từ dữ kiện của đề (song song với đường nào, vuông góc với mặt phẳng nào, đi qua hai điểm nào…).
• Thay vào công thức trong khung ở trên.
Ví dụ 2. Cho đường thẳng $\Delta:\begin{cases}x=2+t\\y=3t\\z=1+t.\end{cases}$
a) Chỉ ra hai điểm thuộc Δ và một vectơ chỉ phương của Δ.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương $\vec{v}=(1;3;1).$
Giải. a) Mỗi giá trị của $t$ cho một điểm thuộc Δ. Thay $t=0$ ta được điểm $A(2;0;1).$ Thay $t=1$ ta được điểm $B(3;3;2).$ Các số đứng trước $t$ là 1, 3, 1 nên Δ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;3;1).$
b) Đường thẳng đi qua $O(0;0;0)$ nên các số đứng riêng đều bằng 0. Vectơ chỉ phương là $\vec{v}=(1;3;1).$ Vậy phương trình tham số là
\[\begin{cases}x=t\\y=3t\\z=t.\end{cases}\]Ví dụ 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua $M(2;-1;3)$ và vuông góc với mặt phẳng (Oyz).
Giải. Trục Ox vuông góc với (Oyz). Vì Δ cũng vuông góc với (Oyz) nên Δ song song hoặc trùng với Ox. Do đó Δ nhận vectơ đơn vị của trục Ox là $\vec{i}=(1;0;0)$ làm vectơ chỉ phương. Vậy
\[\Delta:\begin{cases}x=2+t\\y=-1\\z=3.\end{cases}\]Lưu ý. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) thì lấy luôn vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương. Ví dụ (P) có phương trình $3x+2y=0$ thì vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;2;0)$ (hệ số của $z$ bằng 0, đừng bỏ sót).
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Hiểu nôm na, từ phương trình tham số ta rút $t$ ở cả ba dòng, chẳng hạn $t=\dfrac{x-x_0}{a},$ rồi cho ba biểu thức bằng nhau. Kết quả là phương trình chính tắc.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$ với $a,b,c$ là các số khác 0. Hệ phương trình
\[\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}\]được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng Δ.
Vì phải chia cho $a,b,c$ nên chỉ viết được phương trình chính tắc khi cả ba tọa độ của vectơ chỉ phương đều khác 0.
Cách đọc điểm và vectơ chỉ phương từ phương trình chính tắc
• Ba mẫu số, lấy cả dấu, là tọa độ vectơ chỉ phương.
• Tử số có dạng $x-x_0$ nên tọa độ điểm là số đi sau dấu trừ. Gặp dấu cộng thì đổi dấu, chẳng hạn $y+1=y-(-1)$ cho $y_0=-1.$ Tử số chỉ có $z$ thì $z_0=0.$
Chẳng hạn $\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}$ đi qua $A(2;-1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;2;3).$
Cách làm (đổi giữa hai dạng phương trình)
• Từ dạng này đọc ra một điểm và một vectơ chỉ phương (theo hai cách đọc ở trên).
• Thay điểm và vectơ chỉ phương đó vào công thức của dạng kia.
• Muốn viết dạng chính tắc thì kiểm tra trước cả ba tọa độ của vectơ chỉ phương đều khác 0.
Ví dụ 4. Cho đường thẳng $\Delta:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{5}.$ Chỉ ra một vectơ chỉ phương, một điểm thuộc Δ và viết phương trình tham số của Δ.
Giải. Các mẫu số là 3, 1, 5 nên Δ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;1;5).$ Tử số thứ nhất là $x+1=x-(-1)$ nên $x_0=-1.$ Do đó Δ đi qua $A(-1;1;2).$ Thay điểm A và vectơ $\vec{u}$ vào công thức ở mục 2 ta được phương trình tham số
\[\begin{cases}x=-1+3t\\y=1+t\\z=2+5t.\end{cases}\]Ví dụ 5. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua $A(2;-1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;2;3).$
Giải. Thay tọa độ điểm A và vectơ $\vec{u}$ vào công thức ở mục 2 ta có phương trình tham số
\[\begin{cases}x=2-t\\y=-1+2t\\z=3t.\end{cases}\]Ba tọa độ của $\vec{u}$ đều khác 0 nên Δ có phương trình chính tắc
\[\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}.\]Lưu ý. Hay sai nhất là quên đổi dấu khi đọc điểm, chẳng hạn $\dfrac{y+1}{2}$ cho $y_0=-1$ chứ không phải 1. Đường thẳng ở Ví dụ 3 có vectơ chỉ phương $(1;0;0)$ nên không có phương trình chính tắc.
4. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Hiểu nôm na, hai điểm cho sẵn một điểm đi qua, còn vectơ nối hai điểm nằm ngay trên đường thẳng nên chính là vectơ chỉ phương.
Cho hai điểm phân biệt $A_1(x_1;y_1;z_1)$ và $A_2(x_2;y_2;z_2).$ Đường thẳng A1A2 có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A_1A_2}=(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1).$
• Phương trình tham số của A1A2 là
\[\begin{cases}x=x_1+(x_2-x_1)t\\y=y_1+(y_2-y_1)t\\z=z_1+(z_2-z_1)t\end{cases}\ (t\in\mathbb{R}).\]• Nếu $x_1\ne x_2,$ $y_1\ne y_2,$ $z_1\ne z_2$ thì A1A2 có phương trình chính tắc
\[\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}.\]Cách làm (đường thẳng đi qua hai điểm A, B)
• Tính $\overrightarrow{AB}$ (tọa độ B trừ tọa độ A). Nếu các tọa độ có thừa số chung thì rút gọn cho đẹp.
• Lấy A làm điểm đi qua, viết phương trình như mục 2 và mục 3. Không cần thuộc lòng công thức dài trong khung.
Ví dụ 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;1;3)$ và $B(2;4;6).$
Giải. Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-2;4-1;6-3)=(0;3;3).$ Ba tọa độ có thừa số chung 3, nên ta lấy $\vec{u}=(0;1;1)$ làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng đi qua A nên có phương trình tham số
\[\begin{cases}x=2\\y=1+t\\z=3+t.\end{cases}\]Vì $\vec{u}$ có tọa độ thứ nhất bằng 0 nên AB không có phương trình chính tắc.
Ví dụ 7 (tình huống mở đầu SGK). Mắt người quan sát ở $M(2;3;-4),$ vật ở $N(-1;0;8).$ Một tấm bìa hình tròn tâm O, bán kính 3 nằm trong mặt phẳng (Oxy). Tấm bìa có che khuất tầm nhìn từ M đến N không?
Giải. Tia nhìn là đoạn thẳng MN. Tấm bìa che khuất khi đoạn MN cắt (Oxy) tại một điểm D nằm trong tấm bìa, tức D nằm giữa M, N và $OD\lt3.$
• Ta có $\overrightarrow{MN}=(-3;-3;12)=-3(1;1;-4)$ nên đường thẳng MN có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;-4)$ và phương trình tham số
\[\begin{cases}x=2+t\\y=3+t\\z=-4-4t.\end{cases}\]• Mọi điểm thuộc (Oxy) có $z=0.$ Cho $-4-4t=0$ ta được $t=-1.$ Thay $t=-1$ vào phương trình tham số ta được giao điểm $D(1;2;0).$
• Ta có $\overrightarrow{MD}=(-1;-1;4)$ nên $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{MD}.$ Hai vectơ cùng hướng và MD bằng một phần ba MN, nên D nằm giữa M và N.
• Lại có $OD=\sqrt{1^2+2^2+0^2}=\sqrt{5}\lt3$ nên D nằm trong tấm bìa.
Vậy tấm bìa che khuất tầm nhìn của người quan sát.
5. Hai đường thẳng vuông góc
Hiểu nôm na, hai đường thẳng vuông góc khi hai mũi tên chỉ hướng của chúng vuông góc. Mà hai vectơ vuông góc thì tích vô hướng bằng 0 (xem lại Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ).
Cho hai đường thẳng Δ1, Δ2 tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(a_1;b_1;c_1),$ $\overrightarrow{u_2}=(a_2;b_2;c_2).$ Khi đó
\[\begin{aligned}\Delta_1\perp\Delta_2&\Leftrightarrow\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}=0\\&\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0.\end{aligned}\]Cách làm (xét hai đường thẳng có vuông góc không)
• Đọc vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ của hai đường thẳng.
• Tính $\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2$ (nhân từng cặp tọa độ rồi cộng lại). Bằng 0 thì vuông góc, khác 0 thì không vuông góc.
Ví dụ 8. Đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$ có vuông góc với trục Oz không?
Giải. Các mẫu số cho vectơ chỉ phương của Δ là $\vec{u}=(2;1;-1).$ Trục Oz có vectơ chỉ phương $\vec{k}=(0;0;1).$ Ta có $\vec{u}\cdot\vec{k}=2\cdot0+1\cdot0+(-1)\cdot1=-1\ne0.$ Vậy Δ không vuông góc với Oz.
Ví dụ 9. Hai con đường thuộc hai đường thẳng $\Delta_1:\begin{cases}x=2+t\\y=1+t\\z=0\end{cases}$ và $\Delta_2:\begin{cases}x=1-2s\\y=2s\\z=1.\end{cases}$ Hai con đường có vuông góc với nhau không?
Giải. Đọc các số đứng trước tham số (dòng $z$ không có tham số nên hệ số là 0) ta có $\overrightarrow{u_1}=(1;1;0),$ $\overrightarrow{u_2}=(-2;2;0).$ Suy ra $\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}=1\cdot(-2)+1\cdot2+0\cdot0=0.$ Vậy hai con đường vuông góc với nhau, dù một đường ở độ cao 0, đường kia ở độ cao 1 và chúng không cắt nhau.
Lưu ý. Chỉ dùng vectơ chỉ phương để xét vuông góc, không dùng tọa độ điểm. Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc có thể không cắt nhau.
6. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong không gian, hai đường thẳng có bốn vị trí là song song, trùng nhau, cắt nhau (ba trường hợp này cùng nằm trong một mặt phẳng) và chéo nhau (không cùng nằm trong mặt phẳng nào, giống cầu vượt bắc ngang qua một con đường bên dưới).
Nhắc lại tích có hướng (đã học ở Bài 14). Với $\vec{u}=(a;b;c)$ và $\vec{v}=(a';b';c'),$ tích có hướng của chúng là vectơ
\[[\vec{u},\vec{v}]=(bc'-b'c;\,ca'-c'a;\,ab'-a'b).\]Mẹo tính là viết tọa độ hai vectơ thành hai hàng, mỗi lần che một cột rồi nhân chéo hai cột còn lại.
| Tọa độ cần tính | Che cột | Nhân chéo |
|---|---|---|
| Thứ nhất | a | $bc'-b'c$ |
| Thứ hai | b | $ca'-c'a$ |
| Thứ ba | c | $ab'-a'b$ |
Ở tọa độ thứ hai, các em lấy cột c trước rồi mới tới cột a (đây là chỗ hay sai dấu nhất). Vectơ $[\vec{u},\vec{v}]$ vuông góc với cả $\vec{u}$ và $\vec{v}.$ Ngoài ra $[\vec{u},\vec{v}]=\vec{0}$ khi và chỉ khi $\vec{u},\vec{v}$ cùng phương.
Cho hai đường thẳng Δ1, Δ2 lần lượt đi qua $A_1(x_1;y_1;z_1),$ $A_2(x_2;y_2;z_2)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(a_1;b_1;c_1),$ $\overrightarrow{u_2}=(a_2;b_2;c_2).$ Khi đó
• $\Delta_1\parallel\Delta_2\Leftrightarrow\overrightarrow{u_1}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_2}$ và $A_1\notin\Delta_2.$
• $\Delta_1\equiv\Delta_2\Leftrightarrow\overrightarrow{u_1}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_2}$ và $A_1\in\Delta_2.$
• Δ1 và Δ2 cắt nhau
\[\Leftrightarrow\begin{cases}[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]\ne\vec{0}\\\overrightarrow{A_1A_2}\cdot[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=0.\end{cases}\]• Δ1 và Δ2 chéo nhau $\Leftrightarrow\overrightarrow{A_1A_2}\cdot[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]\ne0.$
Vì sao? Số $\overrightarrow{A_1A_2}\cdot[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]$ bằng 0 nghĩa là ba vectơ $\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ cùng nằm trên một mặt phẳng, nên hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng. Hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng mà không cùng phương thì phải cắt nhau. Số đó khác 0 thì hai đường thẳng không cùng nằm trong mặt phẳng nào, tức chéo nhau.
Cách làm (xét vị trí tương đối, theo sơ đồ dưới đây)
• Đọc một điểm và một vectơ chỉ phương của từng đường thẳng.
• Xét $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ có cùng phương không, tức có số $k$ để $\overrightarrow{u_1}=k\overrightarrow{u_2}$ không (so tỉ số từng cặp tọa độ).
• Nếu cùng phương thì thay tọa độ A1 vào phương trình Δ2. Thỏa mãn thì trùng nhau, không thỏa mãn thì song song.
• Nếu không cùng phương thì tính $[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}],$ $\overrightarrow{A_1A_2}$ rồi tính tích vô hướng của chúng. Bằng 0 thì cắt nhau, khác 0 thì chéo nhau.
Ví dụ 10. Chứng minh hai đường thẳng $\Delta_1:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z-1}{3}$ và $\Delta_2:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z}{3}$ song song với nhau.
Giải. Hai phương trình có cùng các mẫu số 1, −2, 3 nên hai đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;3).$ Do đó chúng song song hoặc trùng nhau.
Đọc tử số của Δ1 ta có điểm $A_1(3;0;1)\in\Delta_1.$ Thay tọa độ A1 vào phương trình Δ2 ta có $\dfrac{3-1}{1}=2$ và $\dfrac{0-2}{-2}=1.$ Hai tỉ số khác nhau nên $A_1\notin\Delta_2.$ Vậy $\Delta_1\parallel\Delta_2.$
Ví dụ 11. Xét vị trí tương đối giữa $\Delta_1:\begin{cases}x=1+2t\\y=3+t\\z=1-t\end{cases}$ và $\Delta_2:\begin{cases}x=s\\y=1+2s\\z=3s.\end{cases}$
Giải. Đường thẳng Δ1 đi qua $A_1(1;3;1),$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1).$ Đường thẳng Δ2 đi qua $A_2(0;1;0),$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1;2;3).$
Ta có $\dfrac{2}{1}\ne\dfrac{1}{2}$ nên $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương. Hai đường thẳng chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Tính tích có hướng theo công thức (hoặc mẹo che cột) ta có
\[\begin{aligned}{}[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]&=\big(1\cdot3-2\cdot(-1);\\&\qquad(-1)\cdot1-3\cdot2;\\&\qquad2\cdot2-1\cdot1\big)\\&=(5;-7;3).\end{aligned}\]Lại có
\[\begin{aligned}\overrightarrow{A_1A_2}&=(0-1;1-3;0-1)\\&=(-1;-2;-1).\end{aligned}\]Suy ra
\[\overrightarrow{A_1A_2}\cdot[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=-5+14-3=6\ne0.\]Vậy Δ1 và Δ2 chéo nhau.
Cách thứ hai (theo Chú ý của SGK). Hiểu nôm na, hai đường thẳng có điểm chung khi có một điểm nằm trên cả hai. Ta viết hai đường thẳng dưới dạng tham số (tham số $t$ và $s$ khác nhau), cho các tọa độ $x,$ $y,$ $z$ bằng nhau, được hệ (*) hai ẩn $t,s$ gồm ba phương trình. Khi đó
• $\Delta_1\parallel\Delta_2\Leftrightarrow\overrightarrow{u_1}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_2}$ và hệ (*) vô nghiệm.
• $\Delta_1\equiv\Delta_2\Leftrightarrow$ hệ (*) có vô số nghiệm.
• Δ1 cắt Δ2 $\Leftrightarrow$ hệ (*) có nghiệm duy nhất.
• Δ1 và Δ2 chéo nhau $\Leftrightarrow\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.
Cách này tiện khi một đường thẳng là trục tọa độ hoặc khi đề hỏi thêm giao điểm.
Ví dụ 12. Chứng minh đường thẳng $\Delta:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{4}$ cắt trục Oz.
Giải. Đường thẳng Δ đi qua $(-1;-1;0)$ và có vectơ chỉ phương $(1;1;4),$ nên có phương trình tham số $x=-1+t,$ $y=-1+t,$ $z=4t.$ Trục Oz đi qua O và có vectơ chỉ phương $\vec{k}=(0;0;1),$ nên có phương trình $x=0,$ $y=0,$ $z=s.$ Cho các tọa độ bằng nhau ta có hệ
\[\begin{cases}-1+t=0\\-1+t=0\\4t=s\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}t=1\\s=4.\end{cases}\]Hệ có nghiệm duy nhất nên Δ cắt Oz. Thay $t=1$ vào phương trình của Δ ta được giao điểm $(0;0;4).$
Lưu ý. Hai tham số của hai đường thẳng phải đặt khác tên ($t$ và $s$). Nếu dùng chung chữ $t$ thì ta bắt hai điểm phải ứng với cùng một giá trị tham số, dễ kết luận sai là "không cắt nhau".
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 5.11 (SGK trang 48). Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm $A(1;1;2)$ và song song với đường thẳng $d:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+5}{3}.$
Lời giải
Đã có điểm A, ta chỉ cần tìm vectơ chỉ phương của Δ.
Các mẫu số trong phương trình của d cho vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;3).$ Vì Δ song song với d nên Δ nhận luôn $\vec{u}=(2;1;3)$ làm vectơ chỉ phương.
Thay tọa độ điểm A và vectơ $\vec{u}$ vào công thức. Vậy Δ có phương trình tham số
\[\begin{cases}x=1+2t\\y=1+t\\z=2+3t\end{cases}\]và có phương trình chính tắc
\[\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{3}.\]Bài 5.12 (SGK trang 48). Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm $A(2;-1;4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x+3y-z-1=0.$
Lời giải
Các hệ số của $x,$ $y,$ $z$ trong phương trình (P) cho vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;3;-1).$ Vì Δ vuông góc với (P) nên Δ song song hoặc trùng với giá của $\vec{n}.$ Do đó Δ nhận $\vec{n}=(1;3;-1)$ làm vectơ chỉ phương.
Thay tọa độ điểm A và vectơ $\vec{n}$ vào công thức. Vậy Δ có phương trình tham số
\[\begin{cases}x=2+t\\y=-1+3t\\z=4-t\end{cases}\]và có phương trình chính tắc
\[\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-4}{-1}.\]Bài 5.13 (SGK trang 48). Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng Δ đi qua hai điểm $A(2;3;-1)$ và $B(1;-2;4).$
Lời giải
Đường thẳng Δ đi qua A, B nên nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương. Lấy tọa độ B trừ tọa độ A ta có
\[\begin{aligned}\overrightarrow{AB}&=(1-2;-2-3;4+1)\\&=(-1;-5;5).\end{aligned}\]Thay tọa độ điểm A và vectơ $\overrightarrow{AB}$ vào công thức. Vậy Δ có phương trình tham số
\[\begin{cases}x=2-t\\y=3-5t\\z=-1+5t\end{cases}\]và có phương trình chính tắc
\[\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-3}{-5}=\dfrac{z+1}{5}.\]Bài 5.14 (SGK trang 48). Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
\[\Delta_1:\begin{cases}x=1+2t\\y=3-t\\z=2+3t\end{cases}\]và
\[\Delta_2:\dfrac{x-8}{-1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-2}{2}.\]a) Chứng minh rằng Δ1 và Δ2 cắt nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Δ1 và Δ2.
Lời giải
a) Đọc phương trình tham số, Δ1 đi qua $A_1(1;3;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;-1;3).$ Đọc phương trình chính tắc (nhớ đổi dấu ở tử), Δ2 đi qua $A_2(8;-2;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-1;1;2).$
Tính tích có hướng theo công thức ta có
\[\begin{aligned}{}[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]&=\big((-1)\cdot2-1\cdot3;\\&\qquad3\cdot(-1)-2\cdot2;\\&\qquad2\cdot1-(-1)\cdot(-1)\big)\\&=(-5;-7;1).\end{aligned}\]Vectơ này khác $\vec{0}$ nên $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương.
Lại có
\[\begin{aligned}\overrightarrow{A_1A_2}&=(8-1;-2-3;2-2)\\&=(7;-5;0).\end{aligned}\]Suy ra
\[\begin{aligned}\overrightarrow{A_1A_2}\cdot[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]&=-35+35+0\\&=0.\end{aligned}\]Vậy Δ1 và Δ2 cắt nhau.
b) Mặt phẳng (P) chứa Δ1 và Δ2 nên có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ (không cùng phương). Do đó (P) nhận tích có hướng $[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=(-5;-7;1)$ làm vectơ pháp tuyến. Đổi dấu cho gọn, ta chọn
\[\vec{n}=-[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=(5;7;-1).\]Mặt phẳng (P) đi qua $A_1(1;3;2)\in\Delta_1$ nên có phương trình
\[\begin{aligned}&5(x-1)+7(y-3)-(z-2)=0\\\Leftrightarrow{}&5x+7y-z-24=0.\end{aligned}\]Vậy mặt phẳng (P) có phương trình $5x+7y-z-24=0.$
Bài 5.15 (SGK trang 48). Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
\[\Delta_1:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-2}{2}\]và
\[\Delta_2:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}.\]a) Chứng minh rằng Δ1 và Δ2 song song với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Δ1 và Δ2.
Lưu ý. Trong SGK, phương trình Δ2 được in là $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{z}{2}.$ Có lẽ đây là lỗi in, vì đề yêu cầu chứng minh hai đường thẳng song song nên tử số thứ hai phải là $y+1.$ Bài giải dưới đây dùng $y+1.$
Lời giải
a) Đọc các tử số, Δ1 đi qua $A_1(1;3;2)$ và Δ2 đi qua $A_2(1;-1;0).$ Hai phương trình có cùng các mẫu số 3, 1, 2 nên hai đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;1;2).$ Do đó chúng song song hoặc trùng nhau.
Thay tọa độ A1 vào phương trình Δ2 ta có $\dfrac{1-1}{3}=0$ còn $\dfrac{3+1}{1}=4.$ Hai tỉ số khác nhau nên $A_1\notin\Delta_2.$
Vậy $\Delta_1\parallel\Delta_2.$
b) Hai đường thẳng song song có chung vectơ chỉ phương $\vec{u},$ nên (P) cần thêm một vectơ nữa không cùng phương với $\vec{u}.$ Ta lấy vectơ nối hai điểm trên hai đường thẳng là
\[\begin{aligned}\overrightarrow{A_1A_2}&=(1-1;-1-3;0-2)\\&=(0;-4;-2).\end{aligned}\]Mặt phẳng (P) chứa cả A1, A2 và Δ1 nên có cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;1;2)$ và $\overrightarrow{A_1A_2}=(0;-4;-2)$ (không cùng phương). Tính tích có hướng theo công thức ta có
\[\begin{aligned}{}[\vec{u},\overrightarrow{A_1A_2}]&=\big(1\cdot(-2)-(-4)\cdot2;\\&\qquad2\cdot0-(-2)\cdot3;\\&\qquad3\cdot(-4)-0\cdot1\big)\\&=(6;6;-12).\end{aligned}\]Chia cho 6 cho gọn, (P) nhận $\vec{n}=(1;1;-2)$ làm vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng (P) đi qua $A_1(1;3;2)$ nên có phương trình
\[\begin{aligned}&(x-1)+(y-3)-2(z-2)=0\\\Leftrightarrow{}&x+y-2z=0.\end{aligned}\]Vậy mặt phẳng (P) có phương trình $x+y-2z=0.$
Bài 5.16 (SGK trang 48). Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
\[\Delta_1:\begin{cases}x=-1+t\\y=1\\z=3+2t\end{cases}\text{và}\ \ \Delta_2:\begin{cases}x=-1+2s\\y=2+s\\z=1+3s.\end{cases}\]Lời giải
Dòng $y=1$ của Δ1 không có $t$ nên hệ số của $t$ ở dòng này là 0. Do đó Δ1 đi qua $A_1(-1;1;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;0;2).$ Đường thẳng Δ2 đi qua $A_2(-1;2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2;1;3).$
Tọa độ thứ hai của $\overrightarrow{u_1}$ bằng 0 còn của $\overrightarrow{u_2}$ bằng 1, nên hai vectơ này không cùng phương.
Tính tích có hướng theo công thức ta có
\[\begin{aligned}{}[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]&=\big(0\cdot3-1\cdot2;\\&\qquad2\cdot2-3\cdot1;\\&\qquad1\cdot1-2\cdot0\big)\\&=(-2;1;1).\end{aligned}\]Lại có
\[\begin{aligned}\overrightarrow{A_1A_2}&=(-1+1;2-1;1-3)\\&=(0;1;-2).\end{aligned}\]Suy ra
\[\begin{aligned}\overrightarrow{A_1A_2}\cdot[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]&=0+1-2\\&=-1\ne0.\end{aligned}\]Vậy Δ1 và Δ2 chéo nhau.
Bài 5.17 (SGK trang 49). Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình
\[\Delta_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{3}\]và
\[\Delta_2:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{1}.\]a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?
Lời giải
Nút giao thông khác mức là nơi hai con đường không gặp nhau, một đường đi trên cầu vượt bắc ngang qua đường kia. Vì vậy câu b) thực chất hỏi hai đường thẳng có chéo nhau không.
Đọc các phương trình chính tắc, Δ1 đi qua $A_1(1;0;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;-1;3).$ Đường thẳng Δ2 đi qua $A_2(3;-1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-1;1;1).$
a) Ta có $\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}$$=2\cdot(-1)+(-1)\cdot1+3\cdot1$$=0$ nên $\Delta_1\perp\Delta_2.$ Vậy hai con đường vuông góc với nhau.
b) Ta có $\dfrac{2}{-1}\ne\dfrac{-1}{1}$ nên $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương.
Tính tích có hướng theo công thức ta có
\[\begin{aligned}{}[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]&=\big((-1)\cdot1-1\cdot3;\\&\qquad3\cdot(-1)-1\cdot2;\\&\qquad2\cdot1-(-1)\cdot(-1)\big)\\&=(-4;-5;1).\end{aligned}\]Lại có
\[\begin{aligned}\overrightarrow{A_1A_2}&=(3-1;-1-0;0+1)\\&=(2;-1;1).\end{aligned}\]Suy ra
\[\begin{aligned}\overrightarrow{A_1A_2}\cdot[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]&=-8+5+1\\&=-2\ne0.\end{aligned}\]Do đó Δ1 và Δ2 chéo nhau, tức hai con đường không có điểm chung. Vậy đây là nút giao thông khác mức.
Bài 5.18 (SGK trang 49). Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm $A(1;3;4)$ và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là $\vec{v}=(2;1;6).$ Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?
a) Mục tiêu đặt tại điểm $M\left(7;\dfrac{7}{2};21\right).$
b) Mục tiêu đặt tại điểm $N(-3;1;-8).$
Lời giải
Mỗi giây đầu đạn dời đi đúng vectơ $\vec{v},$ nên sau $t$ giây nó dời đi $t\vec{v}.$ Như vậy đường bay là đường thẳng đi qua A, có vectơ chỉ phương $\vec{v},$ và tham số $t$ chính là thời gian bay (chỉ xét $0\le t\le3$).
Gọi P là vị trí đầu đạn sau $t$ giây. Ta có $\overrightarrow{AP}=t\vec{v},$ tức là
\[P(1+2t;\,3+t;\,4+6t).\]Viên đạn trúng mục tiêu khi có một thời điểm $t\in[0;3]$ mà P trùng với mục tiêu.
a) Cho ba tọa độ của P bằng ba tọa độ của M ta có
\[\begin{cases}1+2t=7\\3+t=\dfrac{7}{2}\\4+6t=21\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}t=3\\t=\dfrac{1}{2}\\t=\dfrac{17}{6}.\end{cases}\]Ba giá trị của $t$ khác nhau nên hệ vô nghiệm, tức M không nằm trên đường bay. Vậy viên đạn không trúng mục tiêu M.
b) Cho ba tọa độ của P bằng ba tọa độ của N ta có
\[\begin{cases}1+2t=-3\\3+t=1\\4+6t=-8\end{cases}\Leftrightarrow t=-2.\]Điểm N nằm trên đường thẳng chứa đường bay nhưng ứng với $t=-2\lt0.$ Thời gian không thể âm, nghĩa là N nằm phía sau điểm bắn, ngược với hướng bay. Vậy viên đạn không trúng mục tiêu N.
Bài 5.19 (SGK trang 49). Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° và tạo với hướng đông góc 30°). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.
Lời giải
Tia nắng đi qua đỉnh cột rồi chạm đất đúng tại bóng của đỉnh cột. Gọi đỉnh cột là A, bóng của đỉnh cột là A′. Khi đó tia nắng nằm trên đường thẳng AA′, nên ta cần tọa độ hai điểm này.
• Cột cao 6 m nằm trên tia Oz nên $A(0;0;6).$
• Bóng A′ nằm trên mặt đất (Oxy) nên $z_{A'}=0.$ Điểm A′ cách O 3 m, tia OA′ tạo với tia Ox (hướng nam) góc 60° và lệch về phía tia Oy (hướng đông). Chiếu OA′ xuống hai trục ta được
\[\begin{aligned}x_{A'}&=3\cos60^\circ=\dfrac{3}{2},\\y_{A'}&=3\sin60^\circ=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.\end{aligned}\]Suy ra $A'\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3\sqrt{3}}{2};0\right).$
• Ta có $\overrightarrow{AA'}=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3\sqrt{3}}{2};-6\right)$$=\dfrac{3}{2}\big(1;\sqrt{3};-4\big)$ nên đường thẳng AA′ nhận $\vec{u}=(1;\sqrt{3};-4)$ làm vectơ chỉ phương.
Vậy đường thẳng chứa tia nắng đi qua $A(0;0;6)$ có phương trình tham số
\[\begin{cases}x=t\\y=\sqrt{3}\,t\\z=6-4t\end{cases}\]và có phương trình chính tắc
\[\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{\sqrt{3}}=\dfrac{z-6}{-4}.\]
Bình luận
Viết bình luận của bạn