Bài 16. Công thức tính góc trong không gian (Toán 12, Kết nối tri thức) giúp các em tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng chỉ bằng tọa độ của vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến. Cuối bài có lời giải chi tiết tất cả bài tập trong sách giáo khoa.
A. Tóm tắt lý thuyết
Ở lớp 11, muốn tính góc trong không gian các em phải dựng hình, tìm tam giác vuông… khá vất vả. Trong hệ tọa độ Oxyz thì nhẹ hơn nhiều. Ý chính của cả bài là đưa mọi góc về góc giữa hai vectơ, rồi dùng công thức quen thuộc (xem lại Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ)
\[\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\cdot|\vec v|}.\]Trong bài, hai loại vectơ được dùng là
• vectơ chỉ phương (viết tắt VTCP) của đường thẳng, giống mũi tên chỉ hướng đi của đường thẳng;
• vectơ pháp tuyến (viết tắt VTPT) của mặt phẳng, giống cây cột cắm thẳng đứng trên mặt sàn.
Quy ước của SGK. Nếu không nói gì thêm thì góc tính theo đơn vị độ và làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
Bấm máy tính. Để máy ở chế độ độ (màn hình có chữ D). Biết côsin của góc thì bấm SHIFT cos rồi nhập số đó. Biết sin thì bấm SHIFT sin. Ví dụ, $\cos\varphi=\dfrac{2\sqrt2}{3}$ thì bấm SHIFT cos ( 2√2 ÷ 3 ) được 19,47…, làm tròn thành $\varphi\approx 19{,}5^\circ.$
1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Hiểu nôm na, hai đường thẳng lệch nhau bao nhiêu thì hai mũi tên chỉ hướng của chúng (hai VTCP $\vec u,$ $\vec{u'}$) cũng lệch nhau bấy nhiêu. Chỉ có một chỗ khác. Góc giữa hai đường thẳng chỉ từ $0^\circ$ đến $90^\circ,$ còn góc giữa hai vectơ có thể tới $180^\circ$ (xem lại Toán 10 – Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ). Vì vậy
• nếu $(\vec u,\vec{u'})\le 90^\circ$ thì $(\Delta,\Delta')=(\vec u,\vec{u'});$
• nếu $(\vec u,\vec{u'})\gt 90^\circ$ thì $(\Delta,\Delta')=180^\circ-(\vec u,\vec{u'}).$
Hai góc bù nhau có côsin đối nhau (chỉ khác dấu). Vì thế lấy giá trị tuyệt đối là cả hai trường hợp đều đúng.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ và Δ′ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec u=(a;b;c),$ $\vec{u'}=(a';b';c').$ Khi đó
\[\begin{aligned}&\cos(\Delta,\Delta')=\left|\cos(\vec u,\vec{u'})\right|\\&=\dfrac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}.\end{aligned}\]Cách làm (góc giữa hai đường thẳng)
• Đọc VTCP $\vec u$ của Δ và VTCP $\vec{u'}$ của Δ′.
• Tính tích vô hướng $\vec u\cdot\vec{u'}$ và hai độ dài $|\vec u|,$ $|\vec{u'}|.$
• Thay vào công thức trên (tử số lấy giá trị tuyệt đối), được côsin của góc.
• Bấm SHIFT cos để ra số đo góc, làm tròn.
Cách đọc VTCP từ phương trình đường thẳng
• phương trình tham số $x=x_0+at,$ $y=y_0+bt,$ $z=z_0+ct$ thì $\vec u=(a;b;c)$ (các hệ số của $t$);
• phương trình chính tắc $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ thì $\vec u=(a;b;c)$ (các mẫu số).
Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng
\[\Delta\colon\begin{cases}x=1+t\\y=-1+t\\z=3\end{cases}\ \text{và}\ \ \Delta'\colon\begin{cases}x=1+2s\\y=-2+2s\\z=4+s.\end{cases}\]Lời giải
Đây là góc giữa hai đường thẳng nên ta dùng hai VTCP và tính côsin.
Đường thẳng Δ có VTCP $\vec u=(1;1;0)$ (dòng $z=3$ không chứa $t$ nên hệ số của $t$ là 0). Đường thẳng Δ′ có VTCP $\vec{u'}=(2;2;1)$ (các hệ số của $s$). Ta có
$\vec u\cdot\vec{u'}=1\cdot 2+1\cdot 2+0\cdot 1=4,$ $|\vec u|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2,$ $|\vec{u'}|=\sqrt{4+4+1}=3.$
Thay vào công thức góc giữa hai đường thẳng
\[\cos(\Delta,\Delta')=\dfrac{|4|}{\sqrt2\cdot 3}=\dfrac{2\sqrt2}{3}.\]Bấm SHIFT cos được khoảng 19,47. Vậy $(\Delta,\Delta')\approx 19{,}5^\circ.$
Ví dụ 2. Tính góc giữa trục Oz và đường thẳng $\Delta\colon\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{-2}.$
Lời giải
Trục Oz có VTCP $\vec k=(0;0;1).$ Đường thẳng Δ có VTCP $\vec u=(1;2;-2)$ (các mẫu số). Ta có
$\vec k\cdot\vec u=0\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot(-2)=-2,$ $|\vec k|=1,$ $|\vec u|=\sqrt{1+4+4}=3.$
Suy ra
\[\cos(Oz,\Delta)=\dfrac{|-2|}{1\cdot 3}=\dfrac{2}{3}.\]Vậy $(Oz,\Delta)\approx 48{,}2^\circ.$
Lưu ý. Lỗi hay gặp nhất là quên dấu giá trị tuyệt đối ở tử số. Ở Ví dụ 2, nếu quên thì côsin bằng $-\dfrac23,$ góc ra $131{,}8^\circ.$ Kết quả này sai vì góc giữa hai đường thẳng không vượt quá $90^\circ.$ Nếu tử số bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc.
2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Hiểu nôm na, cắm xiên một cây sào xuống sân lúc nắng chiếu thẳng từ trên xuống. Góc giữa cây sào và cái bóng của nó trên mặt sân chính là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Nhắc lại định nghĩa ở lớp 11. Nếu Δ không vuông góc với (P) thì góc giữa Δ và (P) là góc $\varphi$ giữa Δ và hình chiếu d của nó trên (P); nếu Δ vuông góc với (P) thì góc đó bằng $90^\circ.$
Lấy Δ′ là đường thẳng vuông góc với (P), tức là giá của vectơ pháp tuyến $\vec n$ (hình dưới).
Vì sao lại ra sin? Xét tam giác AMH vuông tại H, có $\widehat{AMH}=\varphi.$ Suy ra $\widehat{MAH}=90^\circ-\varphi.$ Vì AH song song với Δ′ nên góc giữa Δ và Δ′ cũng bằng $90^\circ-\varphi.$ Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, do đó
\[\sin\varphi=\cos(\Delta,\Delta')=\left|\cos(\vec u,\vec n)\right|.\]Nói gọn, VTPT $\vec n$ "đứng thẳng" trên mặt phẳng. Vì thế côsin của góc giữa $\vec u$ và $\vec n$ lại là sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương $\vec u=(a;b;c)$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec n=(A;B;C).$ Khi đó
\[\begin{aligned}&\sin(\Delta,(P))=\left|\cos(\vec u,\vec n)\right|\\&=\dfrac{|aA+bB+cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\end{aligned}\]Nhắc lại, mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ có VTPT $\vec n=(A;B;C),$ tức là các hệ số của $x,y,z.$
Cách làm (góc giữa đường thẳng và mặt phẳng)
• Đọc VTCP $\vec u$ của đường thẳng và VTPT $\vec n$ của mặt phẳng.
• Tính $\vec u\cdot\vec n,$ $|\vec u|,$ $|\vec n|.$
• Thay vào công thức trên, được sin của góc (không phải côsin).
• Bấm SHIFT sin để ra số đo góc, làm tròn.
Ví dụ 3. Tính góc tạo bởi trục Ox và mặt phẳng $(P)\colon\sqrt2x-y+z+2=0.$
Lời giải
Đây là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên dùng VTCP với VTPT và tính sin.
Trục Ox có VTCP $\vec i=(1;0;0).$ Mặt phẳng (P) có VTPT $\vec n=(\sqrt2;-1;1)$ (các hệ số của $x,y,z$). Ta có
$\vec i\cdot\vec n$ $=1\cdot\sqrt2+0\cdot(-1)+0\cdot 1$ $=\sqrt2,$ $|\vec i|=1,$ $|\vec n|=\sqrt{2+1+1}=2.$
Suy ra
\[\sin(Ox,(P))=\dfrac{|\sqrt2|}{1\cdot 2}=\dfrac{\sqrt2}{2}.\]Vì $\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$ nên Ox tạo với (P) góc $45^\circ.$
Ví dụ 4. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta\colon\dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y-4}{2}=\dfrac{z+1}{1}$ và mặt phẳng $(P)\colon x-y+z-1=0.$
Lời giải
Đường thẳng Δ có VTCP $\vec u=(-1;2;1)$ (các mẫu số). Mặt phẳng (P) có VTPT $\vec n=(1;-1;1)$ (các hệ số của $x,y,z$). Ta có
$\vec u\cdot\vec n$ $=(-1)\cdot 1+2\cdot(-1)+1\cdot 1$ $=-2,$ $|\vec u|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6,$ $|\vec n|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3.$
Suy ra
\[\begin{aligned}&\sin(\Delta,(P))=\dfrac{|-2|}{\sqrt6\cdot\sqrt3}\\&=\dfrac{2}{\sqrt{18}}=\dfrac{\sqrt2}{3}.\end{aligned}\]Bấm SHIFT sin được khoảng 28,13. Vậy $(\Delta,(P))\approx 28{,}1^\circ.$
Lưu ý. Đường thẳng với mặt phẳng thì tính sin, không phải côsin. Ở Ví dụ 4, nếu bấm nhầm SHIFT cos thì ra $61{,}9^\circ.$ Đó là góc giữa Δ và giá của $\vec n,$ không phải góc cần tìm.
3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Hiểu nôm na, dựng trên mỗi mặt phẳng một cây cột vuông góc (chính là VTPT). Hai mặt phẳng nghiêng với nhau bao nhiêu thì hai cây cột cũng nghiêng với nhau bấy nhiêu.
Nhắc lại định nghĩa ở lớp 11. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Đường thẳng vuông góc với (P) nhận VTPT $\vec n$ làm VTCP. Đường thẳng vuông góc với (Q) nhận VTPT $\vec{n'}$ làm VTCP. Vậy ta chỉ việc dùng công thức ở mục 1 cho hai VTPT.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có vectơ pháp tuyến $\vec n=(A;B;C),$ $\vec{n'}=(A';B';C').$ Góc giữa (P) và (Q), kí hiệu $((P),(Q)),$ được tính theo công thức
\[\begin{aligned}&\cos((P),(Q))=\left|\cos(\vec n,\vec{n'})\right|=\\&\dfrac{|AA'+BB'+CC'|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\!\cdot\!\sqrt{A'^2+B'^2+C'^2}}.\end{aligned}\]Cách làm (góc giữa hai mặt phẳng)
• Tìm VTPT $\vec n,$ $\vec{n'}$ của hai mặt phẳng. Mặt phẳng cho bằng phương trình thì đọc hệ số của $x,y,z.$ Mặt phẳng đi qua ba điểm thì dùng tích có hướng (xem Ví dụ 7).
• Tính $\vec n\cdot\vec{n'},$ $|\vec n|,$ $|\vec{n'}|.$
• Thay vào công thức trên, được côsin của góc, rồi bấm SHIFT cos.
Bảng tóm tắt ba loại góc. Các em nên chép bảng này vào vở.
| Góc giữa | Dùng hai vectơ | Ra |
|---|---|---|
| hai đường thẳng | VTCP $\vec u$ và VTCP $\vec{u'}$ | cos |
| đường thẳng và mặt phẳng | VTCP $\vec u$ và VTPT $\vec n$ | sin |
| hai mặt phẳng | VTPT $\vec n$ và VTPT $\vec{n'}$ | cos |
Cả ba trường hợp đều tính cùng một biểu thức
\[\dfrac{|\text{tích vô hướng}|}{\text{tích hai độ dài}}.\]Mẹo nhớ. Hai vectơ cùng loại (VTCP với VTCP, VTPT với VTPT) thì ra côsin. Hai vectơ khác loại (VTCP với VTPT) thì ra sin.
Vì sao có dấu giá trị tuyệt đối? Góc giữa hai vectơ có thể tù, khi đó tích vô hướng âm. Còn ba loại góc trong bài luôn từ $0^\circ$ đến $90^\circ,$ nên sin và côsin của chúng không âm. Lấy giá trị tuyệt đối ở tử số là để luôn ra góc không tù.
Ví dụ 5. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)\colon x+2y+2z-1=0$ và $(Q)\colon x+y-z+1=0.$
Lời giải
Đây là góc giữa hai mặt phẳng nên dùng hai VTPT và tính côsin. Đọc các hệ số của $x,y,z$ ta được VTPT của (P) là $\vec n=(1;2;2),$ VTPT của (Q) là $\vec{n'}=(1;1;-1).$ Ta có
$\vec n\cdot\vec{n'}=1\cdot 1+2\cdot 1+2\cdot(-1)=1,$ $|\vec n|=\sqrt{1+4+4}=3,$ $|\vec{n'}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3.$
Suy ra
\[\cos((P),(Q))=\dfrac{|1|}{3\cdot\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{9}.\]Vậy $((P),(Q))\approx 78{,}9^\circ.$
Ví dụ 6. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)\colon x-\sqrt2y+z-2=0$ và $(Oxz)\colon y=0.$
Lời giải
Mặt phẳng (P) có VTPT $\vec n=(1;-\sqrt2;1).$ Mặt phẳng (Oxz) có phương trình $y=0,$ tức $0x+1y+0z=0,$ nên có VTPT $\vec j=(0;1;0).$ Ta có
$\vec n\cdot\vec j$ $=1\cdot 0+(-\sqrt2)\cdot 1+1\cdot 0$ $=-\sqrt2,$ $|\vec n|=\sqrt{1+2+1}=2,$ $|\vec j|=1.$
Suy ra
\[\cos((P),(Oxz))=\dfrac{|-\sqrt2|}{2\cdot 1}=\dfrac{\sqrt2}{2}.\]Vì $\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$ nên góc giữa (P) và (Oxz) bằng $45^\circ.$
Khi mặt phẳng được cho bởi ba điểm, ta tìm vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng (đã học ở Bài 14). Nhắc lại, nếu mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương $\vec u=(a;b;c),$ $\vec v=(a';b';c')$ thì một vectơ pháp tuyến của nó là
\[[\vec u,\vec v]=(bc'-b'c;\,ca'-c'a;\,ab'-a'b).\]Ví dụ 7. Cho $A(0;0;4),$ $B(0;-3;0),$ $C(0;3;0),$ $D(3;0;0).$ Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ACD).
Lời giải
Hai mặt phẳng chưa có phương trình nên trước hết phải tìm VTPT của từng mặt phẳng bằng tích có hướng.
• Mặt phẳng (ABD) chứa hai vectơ $\overrightarrow{BD}=(3;3;0)$ và $\overrightarrow{AD}=(3;0;-4).$ Theo công thức tích có hướng, ba tọa độ của $[\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AD}]$ là $3\cdot(-4)-0\cdot 0=-12,$ $0\cdot 3-(-4)\cdot 3=12,$ $3\cdot 0-3\cdot 3=-9.$ Vậy $[\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AD}]=(-12;12;-9)$ $=-3(4;-4;3).$ Do đó (ABD) có VTPT $\vec n=(-4;4;-3).$
• Mặt phẳng (ACD) chứa hai vectơ $\overrightarrow{AC}=(0;3;-4)$ và $\overrightarrow{AD}=(3;0;-4).$ Tính tương tự, $[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=(-12;-12;-9)$ $=-3(4;4;3).$ Do đó (ACD) có VTPT $\vec m=(4;4;3).$
• Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ACD). Ta có
$\vec n\cdot\vec m$ $=(-4)\cdot 4+4\cdot 4+(-3)\cdot 3$ $=-9,$ $|\vec n|=\sqrt{16+16+9}=\sqrt{41},$ $|\vec m|=\sqrt{16+16+9}=\sqrt{41}.$
Suy ra
\[\cos\varphi=\dfrac{|-9|}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{41}}=\dfrac{9}{41}.\]Vậy $\varphi\approx 77{,}3^\circ.$
Lưu ý. Vectơ pháp tuyến có thể chia cho một số khác 0 (như chia $(-12;12;-9)$ cho 3) để số gọn hơn mà góc không đổi.
Ví dụ 8 (bài toán mở đầu). Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 4 m. Hỏi mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?
Lời giải
Gọi A, B, C là chân các cột cao 7 m, 6 m, 5 m và A′, B′, C′ là đỉnh cột. Mái nhà nằm trên mặt phẳng (A′B′C′), sàn nhà là mặt phẳng (ABC). Như vậy độ nghiêng của mái chính là góc giữa hai mặt phẳng (A′B′C′) và (ABC). Ta dùng hai VTPT và tính côsin.
• Chọn hệ trục
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ (đơn vị mét), với O là trung điểm AC, sàn nhà là mặt phẳng (Oxy). Vì $OA=OC=2$ nên $A(0;-2;0)$ và $C(0;2;0).$ Đoạn OB là đường cao của tam giác đều cạnh 4 nên $OB=\dfrac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3,$ suy ra $B(2\sqrt3;0;0).$
Cột dựng thẳng đứng nên đỉnh cột có cùng hoành độ, tung độ với chân cột, còn cao độ bằng chiều cao cột. Do đó
$A'(0;-2;7),$ $B'(2\sqrt3;0;6),$ $C'(0;2;5).$
• Vectơ pháp tuyến của mái nhà
Ta có $\overrightarrow{A'B'}=(2\sqrt3;2;-1),$ $\overrightarrow{A'C'}=(0;4;-2).$ Theo công thức tích có hướng, ba tọa độ của $[\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}]$ là $2\cdot(-2)-4\cdot(-1)=0,$ $(-1)\cdot 0-(-2)\cdot 2\sqrt3=4\sqrt3,$ $2\sqrt3\cdot 4-0\cdot 2=8\sqrt3.$ Suy ra
$[\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}]=(0;4\sqrt3;8\sqrt3)$ $=4\sqrt3(0;1;2).$
Vậy (A′B′C′) có vectơ pháp tuyến $\vec n=(0;1;2),$ còn sàn nhà (Oxy) có vectơ pháp tuyến $\vec k=(0;0;1).$
• Tính góc
Gọi $\varphi$ là góc giữa mái nhà và mặt sàn. Ta có $\vec n\cdot\vec k=0\cdot 0+1\cdot 0+2\cdot 1=2,$ $|\vec n|=\sqrt{0+1+4}=\sqrt5,$ $|\vec k|=1.$ Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng
\[\cos\varphi=\dfrac{|2|}{\sqrt5\cdot 1}=\dfrac{2}{\sqrt5}.\]Vậy $\varphi\approx 26{,}6^\circ,$ tức là mái nhà nghiêng so với mặt sàn một góc khoảng $26{,}6^\circ.$
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 5.20 (SGK trang 53). Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng
\[\Delta_1\colon\begin{cases}x=1+2t\\y=1-t\\z=2+3t\end{cases}\]và
\[\Delta_2\colon\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{2}.\]Lời giải
Đây là góc giữa hai đường thẳng nên dùng hai VTCP và tính côsin.
Đường thẳng Δ1 có VTCP $\vec{u_1}=(2;-1;3)$ (các hệ số của $t$). Đường thẳng Δ2 có VTCP $\vec{u_2}=(-1;1;2)$ (các mẫu số). Ta có
$\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}$ $=2\cdot(-1)+(-1)\cdot 1+3\cdot 2$ $=3,$ $|\vec{u_1}|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14},$ $|\vec{u_2}|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt6.$
Suy ra
\[\begin{aligned}&\cos(\Delta_1,\Delta_2)=\dfrac{|3|}{\sqrt{14}\cdot\sqrt6}\\&=\dfrac{3}{\sqrt{84}}=\dfrac{\sqrt{21}}{14}.\end{aligned}\]Vậy $(\Delta_1,\Delta_2)\approx 70{,}9^\circ.$
Lưu ý. Ở phân số thứ hai của Δ2, SGK in nhầm là $\dfrac{x+1}{1},$ đúng phải là $\dfrac{y+1}{1}.$ Các mẫu số không đổi nên vectơ chỉ phương và kết quả không bị ảnh hưởng.
Bài 5.21 (SGK trang 53). Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng $(P)\colon x+2y-z-1=0.$
Lời giải
Đây là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên dùng VTCP với VTPT và tính sin.
Trục Oz có VTCP $\vec k=(0;0;1).$ Mặt phẳng (P) có VTPT $\vec n=(1;2;-1)$ (các hệ số của $x,y,z$). Ta có
$\vec k\cdot\vec n=0\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot(-1)=-1,$ $|\vec k|=1,$ $|\vec n|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6.$
Suy ra
\[\sin(Oz,(P))=\dfrac{|-1|}{1\cdot\sqrt6}=\dfrac{1}{\sqrt6}.\]Bấm SHIFT sin được khoảng 24,09. Vậy góc giữa trục Oz và (P) là $(Oz,(P))\approx 24{,}1^\circ.$
Bài 5.22 (SGK trang 53). Tính góc giữa đường thẳng $\Delta\colon\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $(P)\colon x+y+z+3=0.$
Lời giải
Đây là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên dùng VTCP với VTPT và tính sin.
Đường thẳng Δ có VTCP $\vec u=(-1;2;3)$ (các mẫu số). Mặt phẳng (P) có VTPT $\vec n=(1;1;1).$ Ta có
$\vec u\cdot\vec n=(-1)\cdot 1+2\cdot 1+3\cdot 1=4,$ $|\vec u|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14},$ $|\vec n|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3.$
Suy ra
\[\sin(\Delta,(P))=\dfrac{|4|}{\sqrt{14}\cdot\sqrt3}=\dfrac{4}{\sqrt{42}}.\]Bấm SHIFT sin được khoảng 38,12. Vậy $(\Delta,(P))\approx 38{,}1^\circ.$
Bài 5.23 (SGK trang 53). Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Lời giải
Đề hỏi góc giữa hai mặt phẳng nên ta cần hai VTPT, rồi tính côsin. Hai mặt phẳng chưa có phương trình, vì vậy ta gắn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ các đỉnh, rồi tìm VTPT bằng tích có hướng.
• Chọn hệ trục
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Vì các cạnh bên bằng nhau nên SO vuông góc với đáy. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ (đơn vị mét), trong đó Ox song song với BC, Oy song song với AB, tia Oz chứa S.
• Chiều cao kim tự tháp
Nửa đường chéo đáy là $OA=\dfrac{230\sqrt2}{2}=115\sqrt2.$ Đặt $h=SO,$ tam giác SOA vuông tại O nên
\[\begin{aligned}&h^2=SA^2-OA^2\\&=219^2-(115\sqrt2)^2=21511.\end{aligned}\]Các cạnh đáy song song với trục Ox, Oy và dài 230, nên mỗi đỉnh đáy có hoành độ, tung độ bằng 115 hoặc $-115$ (nửa cạnh). Đỉnh S nằm trên tia Oz. Khi đó
$A(115;-115;0),$ $B(115;115;0),$ $C(-115;115;0),$ $S(0;0;h).$
• Vectơ pháp tuyến của (SAB)
Mặt phẳng (SAB) chứa hai vectơ $\overrightarrow{AB}=(0;230;0)$ và $\overrightarrow{AS}=(-115;115;h).$ Theo công thức tích có hướng
$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AS}]=(230h;0;26450)$ $=230(h;0;115).$
Chia cho 230, ta được VTPT của (SAB) là $\vec{n_1}=(h;0;115).$
• Vectơ pháp tuyến của (SBC)
Mặt phẳng (SBC) chứa hai vectơ $\overrightarrow{BC}=(-230;0;0)$ và $\overrightarrow{BS}=(-115;-115;h).$ Tương tự
$[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BS}]=(0;230h;26450)$ $=230(0;h;115).$
Chia cho 230, ta được VTPT của (SBC) là $\vec{n_2}=(0;h;115).$
• Tính góc
Gọi $\varphi$ là góc giữa (SAB) và (SBC). Ta có $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}$ $=h\cdot 0+0\cdot h+115\cdot 115$ $=13225$ và
\[|\vec{n_1}|=|\vec{n_2}|=\sqrt{h^2+115^2}=\sqrt{34736}.\](Ở đây thay $h^2=21511$ và $115^2=13225.$) Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng
\[\cos\varphi=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}=\dfrac{13225}{34736}.\]Bấm SHIFT cos được khoảng 67,62. Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng $67{,}6^\circ.$
Lưu ý. Đề hỏi góc giữa hai mặt phẳng nên đáp số là $67{,}6^\circ$ (góc này không vượt quá $90^\circ$). Còn góc nhị diện [A, SB, C], tức "độ mở" giữa hai mặt bên phía trong kim tự tháp, là góc tù, bằng $180^\circ-67{,}6^\circ=112{,}4^\circ.$
Bài 5.24 (SGK trang 53). Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm.
a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)
b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Lời giải
Mặt nước cắt bốn cạnh bên của bể tại A, B, C, D. Chọn hệ trục Oxyz gắn với bể như hình vẽ (đơn vị centimét), O là một đỉnh của đáy, đáy bể nằm trên mặt phẳng (Oxy). Khi đó cao độ $z$ của một điểm chính là khoảng cách từ điểm đó đến đáy bể, nên
$A(100;0;40),$ $B(0;0;44),$ $C(0;100;48).$
a) Gọi $D(x;y;z).$ Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.$ Ta có $\overrightarrow{AD}=(x-100;y;z-40)$ và $\overrightarrow{BC}=(0;100;4).$ Suy ra
\[\begin{cases}x-100=0\\y=100\\z-40=4\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=100\\y=100\\z=44.\end{cases}\]Vậy $D(100;100;44)$ và khoảng cách từ D đến đáy bể là 44 cm (kết quả là số nguyên nên không cần làm tròn).
b) Đề hỏi độ nghiêng của đáy bể, tức là một góc giữa hai mặt phẳng. Mặt nước luôn nằm ngang, nên góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang chính là góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (ABCD).
• Mặt phẳng (ABCD) chứa hai vectơ $\overrightarrow{AB}=(-100;0;4)$ và $\overrightarrow{AD}=(0;100;4).$ Theo công thức tích có hướng
$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}]=(-400;400;-10000)$ $=-400(1;-1;25).$
Chia cho $-400,$ ta được VTPT của (ABCD) là $\vec n=(1;-1;25).$ Mặt phẳng (Oxy) có phương trình $z=0$ nên có VTPT $\vec k=(0;0;1).$
• Gọi $\varphi$ là góc giữa (ABCD) và (Oxy). Ta có $\vec n\cdot\vec k=1\cdot 0+(-1)\cdot 0+25\cdot 1=25,$ $|\vec n|=\sqrt{1+1+625}=\sqrt{627},$ $|\vec k|=1.$ Suy ra
\[\cos\varphi=\dfrac{|25|}{\sqrt{627}\cdot 1}=\dfrac{25}{\sqrt{627}}.\]Bấm SHIFT cos được khoảng 3,24. Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc khoảng $3{,}2^\circ.$
Bình luận
Viết bình luận của bạn