Bài toán thực tế về đường trượt có dạng đồ thị hàm số phân thức (tử bậc hai, mẫu bậc nhất) tiếp xúc với trục hoành là dạng toán vận dụng đạo hàm của Toán 12 Chương I (sách Kết nối tri thức). Bài toán có lời giải chi tiết ngay dưới đề.
Nguồn đề:
Lời giải: Nguyễn Ngọc Sơn.
A. Đề bài
Câu 4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, đơn vị mỗi trục là mét, một đường trượt mới sẽ được xây dựng theo bản thiết kế đã trình bày như hình vẽ. Thanh trượt bắt đầu từ A và kết thúc tại C, đường cong của thanh trượt là một phần của đồ thị hàm số $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x+d},$ biết đồ thị hàm số $f(x)$ tiếp xúc với trục Ox tại điểm B.
Bạn Nam bắt đầu trượt từ điểm A, hỏi khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét thì Nam cách mặt đất bao nhiêu mét, biết trục Ox nằm trên mặt đất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
B. Hướng dẫn giải
• Đọc tọa độ từ hình vẽ, ta có $A(0;10),$ $B(10;0),$ $C(15;1).$
• Đồ thị tiếp xúc với trục Ox tại B nên $f(10)=0$ và $f'(10)=0$ (tiếp tuyến tại B nằm ngang, xem lại Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số).
• Đặt $u(x)=ax^2+bx+c,$ $v(x)=x+d.$ Hàm số xác định tại B nên $v(10)=10+d\ne0.$ Từ $f(10)=0$ có $u(10)=0,$ nên theo công thức đạo hàm của thương $f'(10)=\dfrac{u'(10)}{v(10)},$ suy ra $20a+b=0.$ Cách này tránh được hệ có các tích $ad,$ $bd$ rất rối.
• Dùng thêm hai điểm A, C để lập đủ bốn phương trình, giải ra $a,$ $b,$ $c,$ $d.$
• Nam cách vị trí ban đầu 5 m theo phương ngang nên hoành độ $x=5,$ độ cao của Nam là $f(5).$
C. Lời giải
Lời giải
Theo hình vẽ ta có $A(0;10),$ $B(10;0),$ $C(15;1).$ Đặt $u(x)=ax^2+bx+c$ và $v(x)=x+d.$
• Tìm hàm số
Đồ thị tiếp xúc với trục Ox tại B nên $f(10)=0$ và $f'(10)=0.$ Hàm số xác định tại $x=10$ nên $v(10)=10+d\ne0.$
Ta có $f(10)=0$ suy ra $u(10)=0,$ tức là $100a+10b+c=0.$ Khi đó
\[\begin{aligned}f'(10)&=\dfrac{u'(10)v(10)-u(10)v'(10)}{v^2(10)}\\&=\dfrac{20a+b}{10+d}.\end{aligned}\]Do đó $f'(10)=0\Leftrightarrow b=-20a.$ Thay vào $100a+10b+c=0$ ta được $c=100a.$
Đồ thị đi qua A nên $f(0)=10,$ tức là $\dfrac{c}{d}=10$ (với $d\ne0$), suy ra $c=10d.$ Mà $c=100a$ nên $d=10a.$
Đồ thị đi qua C nên $f(15)=1,$ tức là
\[\begin{aligned}&\dfrac{225a-300a+100a}{15+10a}=1\\&\Leftrightarrow 25a=15+10a\Leftrightarrow a=1.\end{aligned}\]Suy ra $b=-20,$ $c=100,$ $d=10$ và
\[f(x)=\dfrac{(x-10)^2}{x+10}.\]• Tính độ cao của Nam
Khi Nam cách A 5 m theo phương ngang thì hoành độ của Nam là $x=5.$ Trục Ox nằm trên mặt đất nên độ cao của Nam là
\[f(5)=\dfrac{(5-10)^2}{5+10}=\dfrac53\approx1{,}67.\]Vậy khi đó Nam cách mặt đất khoảng 1,67 m.
Các em có thể luyện thêm các bài toán thực tế khác dùng đạo hàm trong Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn và bài Bài toán tốc độ thay đổi liên quan: thang trượt, máy bay, máng nước. Cách vẽ đồ thị hàm phân thức được trình bày trong Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
