Đề kiểm tra giữa kỳ 1 Toán 11 trường Nguyễn Hữu Cầu 2026 – 2027: lời giải chi tiết phần lượng giác

Lời giải

• Vì côsin tuần hoàn với chu kì $2\pi$ và hai góc hơn kém $\pi$ có côsin đối nhau (xem lại Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác) nên

\[\begin{aligned}&\cos\left[\alpha+(2k+1)\pi\right]\\&=\cos(\alpha+\pi+k2\pi)=\cos(\alpha+\pi)\\&=-\cos\alpha=-\dfrac13.\end{aligned}\]

• Áp dụng công thức nhân đôi $\cos2a=2\cos^2a-1$ (xem lại Bài 2. Công thức lượng giác) ta có

\[\begin{aligned}\cos2\alpha&=2\cos^2\alpha-1\\&=2\cdot\dfrac19-1=-\dfrac79,\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\cos4\alpha&=2\cos^2 2\alpha-1\\&=2\cdot\dfrac{49}{81}-1=\dfrac{17}{81}.\end{aligned}\]

Lời giải

Ta có $\dfrac{1}{\sqrt3}=\cot60^\circ$ nên theo công thức nghiệm của phương trình $\cot x=\cot\alpha$ (xem lại Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản) ta được

\[\begin{aligned}&\cot\left(2x-10^\circ\right)=\cot60^\circ\\&\Leftrightarrow 2x-10^\circ=60^\circ+k180^\circ\\&\Leftrightarrow x=35^\circ+k90^\circ\ (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\]

Lời giải

Hàm số xác định khi $\tan x$ xác định và mẫu số khác 0 (tập xác định của hàm tang: xem Bài 3. Hàm số lượng giác).

+ $\tan x$ xác định khi $\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi.$

+ $1+\tan x\ne0$ $\Leftrightarrow\tan x\ne-1$ $\Leftrightarrow x\ne-\dfrac{\pi}{4}+k\pi.$

Vậy tập xác định của hàm số là

\[D=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi;-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right\}\]

với $k\in\mathbb{Z}.$

Lời giải

a) Thành phố A có 15 giờ có ánh sáng mặt trời khi $d(t)=15,$ tức là

\[\begin{aligned}&3\sin\left[\dfrac{\pi}{182}(t-80)\right]+12=15\\&\Leftrightarrow\sin\left[\dfrac{\pi}{182}(t-80)\right]=1\\&\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{182}(t-80)=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\&\Leftrightarrow t=171+364k\ (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\]

Vì $0\lt t\le365$ nên $k=0,$ suy ra $t=171.$ Năm không nhuận nên từ tháng 1 đến hết tháng 5 có $31+28+31+30+31=151$ ngày, do đó ngày thứ 171 là ngày thứ $171-151=20$ của tháng 6.

Vậy ngày đó là ngày 20 tháng 6.

b)

Áp dụng công thức hạ bậc ta có

\[\begin{aligned}&\sin^2x+\cos^22x\\&=\dfrac{1-\cos2x}{2}+\dfrac{1+\cos4x}{2}\\&=1+\dfrac{\cos4x-\cos2x}{2}.\end{aligned}\]

Do đó phương trình đã cho trở thành $\cos4x-\cos2x=\sin6x.$ Theo công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi ta có $\cos4x-\cos2x=-2\sin3x\sin x$ và $\sin6x=2\sin3x\cos3x,$ nên phương trình tương đương

\[\begin{aligned}&-2\sin3x\sin x=2\sin3x\cos3x\\&\Leftrightarrow\sin3x\left(\cos3x+\sin x\right)=0.\end{aligned}\]

+ $\sin3x=0\Leftrightarrow3x=k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{3}.$

+ $\cos3x+\sin x=0$ $\Leftrightarrow\cos3x=-\sin x$ $\Leftrightarrow\cos3x=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ nên

\[\left[\begin{aligned}&3x=x+\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\&3x=-x-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\] \[\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\&x=-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}.\end{aligned}\right.\]

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{k\pi}{3},$ $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,$ $x=-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}$ $(k\in\mathbb{Z}).$

Lời giải

Vì $\tan2\pi=0\ne-\dfrac43$ nên $\dfrac{3\pi}{2}\lt\alpha\lt2\pi,$ suy ra $\cos\alpha\gt0.$ Từ $1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ ta được $\cos^2\alpha=\dfrac{9}{25},$ nên $\cos\alpha=\dfrac35$ và $\sin\alpha=\tan\alpha\cdot\cos\alpha=-\dfrac45.$

a) Theo công thức biến đổi tích thành tổng ta có

\[\begin{aligned}P&=\dfrac12\left[\sin2\alpha+\sin(-\alpha)\right]\\&=\dfrac12\left(\sin2\alpha-\sin\alpha\right).\end{aligned}\]

Mà $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=-\dfrac{24}{25},$ nên $P=\dfrac12\left(-\dfrac{24}{25}+\dfrac45\right)=-\dfrac{2}{25}.$

b) Vì $\dfrac{3\pi}{4}\lt\dfrac{\alpha}{2}\lt\pi$ nên $\sin\dfrac{\alpha}{2}\gt0$ và $\cos\dfrac{\alpha}{2}\lt0.$ Theo công thức hạ bậc ta có

\[\begin{aligned}\sin^2\dfrac{\alpha}{2}&=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}=\dfrac15\\\Rightarrow\sin\dfrac{\alpha}{2}&=\dfrac{\sqrt5}{5},\end{aligned}\] \[\begin{aligned}\cos^2\dfrac{\alpha}{2}&=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}=\dfrac45\\\Rightarrow\cos\dfrac{\alpha}{2}&=-\dfrac{2\sqrt5}{5}.\end{aligned}\]

Vậy $Q=\dfrac{\sqrt5}{5}-\dfrac{2\sqrt5}{5}=-\dfrac{\sqrt5}{5}.$

Lời giải

Ta có phương trình (1) $\Leftrightarrow\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ (2) hoặc $\cos x=\dfrac{m}{2}$ (3).

Trên đoạn $[0;3\pi],$ phương trình (2) có 4 nghiệm là $\dfrac{\pi}{3},$ $\dfrac{2\pi}{3},$ $\dfrac{7\pi}{3},$ $\dfrac{8\pi}{3}$ (chọn $k=0,$ $k=1$ trong $x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ và $x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$).

a) Khi $m=1$ thì (3) là $\cos x=\dfrac12\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi,$ trên đoạn $[0;3\pi]$ có 3 nghiệm $\dfrac{\pi}{3},$ $\dfrac{5\pi}{3},$ $\dfrac{7\pi}{3}.$

Hai nghiệm $\dfrac{\pi}{3}$ và $\dfrac{7\pi}{3}$ trùng với nghiệm của (2), nên trên đoạn $[0;3\pi]$ phương trình (1) có 5 nghiệm $\dfrac{\pi}{3},$ $\dfrac{2\pi}{3},$ $\dfrac{5\pi}{3},$ $\dfrac{7\pi}{3},$ $\dfrac{8\pi}{3}.$ Tổng các nghiệm là

\[\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{5\pi}{3}+\dfrac{7\pi}{3}+\dfrac{8\pi}{3}=\dfrac{23\pi}{3}.\]

b)

Số nghiệm của (3) trên đoạn $[0;3\pi]$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=\cos x$ với đường thẳng $y=\dfrac{m}{2}.$ Bảng biến thiên của hàm số $y=\cos x$ trên đoạn $[0;3\pi]$ như sau.

Nhìn bảng biến thiên ta có các trường hợp sau.

+ Nếu $\dfrac{m}{2}\lt-1$ hoặc $\dfrac{m}{2}\gt1$ thì (3) vô nghiệm, (1) có 4 nghiệm, thỏa mãn.

+ Nếu $\dfrac{m}{2}=1$ thì (3) có 2 nghiệm $0;$ $2\pi,$ còn nếu $\dfrac{m}{2}=-1$ thì (3) có 2 nghiệm $\pi;$ $3\pi.$ Các nghiệm này không trùng nghiệm của (2) nên (1) có 6 nghiệm, thỏa mãn.

+ Nếu $-1\lt\dfrac{m}{2}\lt1$ thì (3) có 3 nghiệm. Khi $\dfrac{m}{2}=\dfrac12$ thì hai nghiệm $\dfrac{\pi}{3},$ $\dfrac{7\pi}{3}$ trùng với nghiệm của (2); khi $\dfrac{m}{2}=-\dfrac12$ thì hai nghiệm $\dfrac{2\pi}{3},$ $\dfrac{8\pi}{3}$ trùng với nghiệm của (2) (vì $\cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\dfrac{8\pi}{3}=-\dfrac12$). Trong hai trường hợp này (1) có $4+3-2=5$ nghiệm, thỏa mãn. Các giá trị còn lại thì (1) có 7 nghiệm, không thỏa mãn.

Vậy $m\le-2$ hoặc $m\ge2$ hoặc $m=\pm1,$ tức là $m\in(-\infty;-2]\cup\{-1;1\}\cup[2;+\infty).$